1.1 РАСЧЕТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА #
Цепь (сеть) постоянного тока содержит 19 резисторов, расположенных, как показано на рис. 1.1. Вычислите силу тока и падение напряжения на каждом резисторе в этой цепи.
Рисунок 1.1 Последовательно-параллельная цепь постоянного тока, которую необходимо проанализировать.
Процедура расчета: #
1.1.1 Обозначьте цепь #
Промаркируйте все секции. Отметьте направление тока через каждый резистор (рис. 1.2). Эквивалентное сопротивление последовательно-параллельной комбинации резисторов можно найти путем последовательного применения правил объединения последовательных и параллельных резисторов.
Рисунок 1.2 Расставьте обозначения токов #
1.1.2 Объедините все последовательные резисторы #
В последовательной цепи общее или эквивалентное сопротивление $R_{EQS}$, воспринимаемое источником, равно сумме значений отдельных резисторов:
Вычислите последовательный эквивалент элементов, соединенных последовательно на участках DE, CG и GF:
Для секции DE:
$$R_{EQS} = R_{13} + R_{14} = 200 + 40 = 240\ Ω,$$для секции CG:
$$R_{EQS} = R_{7} + R_{8} = 200 + 400 = 600\ Ω,$$для секции GF:
$$R_{EQS} = R_{10} + R_{11} = 200 + 400 = 600\ Ω,$$Замените элементы цепи, включенные в секции DE, CG и GF, на их эквивалентные значения (рис. 1.3).
Рисунок 1.3 Последовательные сопративления заменяем суммарным значением #
1.1.3 Объедините все параллельные резисторы #
В случае параллельной цепи из двух неравных резисторов общее суммарное(эквивалентное) сопротивление $R_{EQP}$ можно найти из следующего уравнения произведение-сумм:
$$R_{EQP} = R1‖R2 =\frac {R1*R2} {R1 + R2},$$где ‖ означает параллельное соединение.
Суммарное параллельное сопротивление всегда меньше наименьшего из двух резисторов.
Для секции CG:
$$R5∥R6 = \frac {1000*1500} {1000 + 1500} = 600\ Ω$$Теперь секция CG состоит из двух параллельно включенных резисторов по 600 Ω.
В случае цепи из N одинаковых резисторов соединенных параллельно, общее, или суммарное, сопротивление $R_{EQP}$ может быть определено из следующего уравнения:
$$R_{EQP} =\frac {R} {N},$$где R - сопротивление каждого из параллельных резисторов, а N - количество параллельно соединенных резисторов.
для секции CG:
$$R_{Σ(R5,R6,R7,R8)} =\frac {600} {2} = 300\ Ω;$$для секции BC:
$$R_{Σ(R2,R3,R4)} =\frac {100} {3} = 33\frac {1} {3}\ Ω;$$для секции EF:
$$R_{Σ(R18,R19)} =\frac {104} {2} = 52\ Ω;$$для секции GF:
$$R_{Σ(R9,R10,R11)} =\frac {600} {2} = 300\ Ω.$$В цепи из трех или более неравных резисторов, соединенных параллельно, общее или эквивалентное сопротивление $R_{EQP}$ равно обратной величине суммы обратных значений отдельных сопротивлений:
$$R_{EQP} =\frac {1} {(\frac {1} {R_{1}} + \frac {1} {R_{2}} + \frac {1} {R_{3}} + ... + \frac {1} {R_{N}})}.$$Суммарное параллельное сопротивление всегда меньше наименьшего резистора в параллельной комбинации.
Вычислите эквивалентное сопротивление элементов, соединенных параллельно в секции DE:
$$R_{15}‖R_{16}‖R_{17} =\frac {1} {(\frac {1} {100} + \frac {1} {200} + \frac {1} {600})} = 60\ Ω.$$Вычислите $R_{DE}$:
$$R_{Σ(R13,R14,R15,R16,R17)} = 240‖60 =$$$$= \frac {240 * 60} {240 + 60} = 48\ Ω.$$Замените все параллельные элементы на их суммарные значения (рис. 1.4)
Рисунок 1.4 Параллельные элементы заменены их суммарными значениями #
1.1.4 Объедините оставшиеся сопротивления для получения общего суммарного сопротивления. #
Объедините эквивалентные последовательные сопротивления на рис. 1.4, чтобы получить простую последовательно-параллельную схему на рис. 1.5:
$$R_{Σ(R1,R2,R3,R4)} = R_{AB} + R_{BC}$$$$= 20 + 33\frac {1} {3} = 53\frac {1} {3}\ Ω,$$$$R_{Σ(R5,R6,R7,R8,R9,R10,R11)} = R_{CG} + R_{GF} =$$$$= 300 + 300 = 600\ Ω,$$$$R_{Σ(R12,R13,R14,R15,R16,R17,R18,R19)} =$$$$= R_{CD} + R_{DE} + R_{EF} =$$$$= 20 + 48 + 52 = 120\ Ω.$$Рисунок 1.5 Схема упрощенная до простой последовательно-параллельной конфигурации #
Рассчитайте полное суммарное сопротивление $R_{EQT}$:
$$R_{EQT} = 53\frac {1} {3} + \frac {600*120} {600+120} = 153\frac {1} {3}\ Ω.$$Итоговая упращенная схема показана на рис. 1.6.
Рисунок 1.6 Окончательная упрощенная схема рис. 1.1 #
1.1.5 Вычислите общий ток линии используя закон Ома #
$$I_1 =\frac {E} {R_{EQT}},$$где $I_1$ - общий ток линии (A), $E$ - напряжение линии (напряжение источника питания)(V), а $R_{EQT}$ - сопротивление линии или общее суммарное сопротивление, воспринимаемое источником питания.
Подставляя значения, получаем:
$$I_1 =\frac {E} {R_{EQT}} =\frac {460} {153\frac {1} {3}} = 3\ A.$$1.1.6 Рассчитайте ток и падение напряжения на каждом резисторе в цепи. #
Смотри рисунок 1.2 и рисунок 1.4 Анализ $R_1$ дает: $I_1 = 3A$ (рассчитано на шаге 1.1.5);
$$V_1 = V_{AB} = I_1 * R_1 = 3 * 20 = 60\ V,$$а для $R_2$, $R_3$ и $R_4$ имеем:
$$V_{BC} = V_2 = V_3 = V_4 = I_1 * R_{BC} =$$$$= 3 * 33\frac {1} {3} = 100\ V.$$Ток:
$$I_2 = I_3 = I_4 =\frac {100} {100} = 1\ A.$$Следовательно, $V_{CF}$ может быть рассчитан:
$$V_{CF} = E - (V_{AB} + V_{BC}) =$$$$= 460 - (60 + 100) = 300 В.$$Ток от $C$ к $G$ к $F$ равен:
$$\frac {300} {600} = 0,5 A.$$Закон тока Кирхгофа гласит: Алгебраическая сумма токов, входящих в любой узел цепи, равна алгебраической сумме токов, выходящих из этого узла: $I_{вход}$ = $I_{выход}$
… продолжение следует …
100 $